Μαθηματικοί έλυσαν το πρόβλημα της «λωρίδας του Μέμπιους» μετά από 50 χρόνια!

Για σχεδόν μισό αιώνα, ένα φαινομενικά απλό ερώτημα έχει γοητεύσει τη μαθηματική κοινότητα: ποια είναι η μικρότερη δυνατή διάσταση για μια λωρίδα Möbius ή «λωρίδας του Μέμπιους» στα ελληνικά, χωρίς να τέμνεται με τον εαυτό της; Επιτέλους, είχαμε μια σημαντική ανακάλυψη από τον Richard Schwartz, μαθηματικό στο Πανεπιστήμιο Brown των ΗΠΑ, ο οποίος απάντησε στην πρόκληση που τέθηκε για πρώτη φορά από τους Charles Weaver και Benjamin Halpern το 1977.

Στην πρωτοποριακή μελέτη τους, οι Halpern και Weaver κατέληξαν σε ένα όριο για τη λωρίδα Möbius, κάνοντας παραλληλισμούς με την κοινή γεωμετρία του διπλωμένου χαρτιού. Ειδικότερα, πρότειναν ότι ο λόγος μεταξύ του μήκους και του πλάτους μιας λωρίδας Möbius πρέπει να υπερβαίνει το √3, δηλαδή περίπου το 1,73. Έτσι, μια λωρίδα Möbius που έχει μήκος ένα εκατοστό θα πρέπει να έχει πλάτος μεγαλύτερο από 1,73 εκατοστά.

Ο Schwartz, έχοντας μάθει για αυτό το μαθηματικό πρόβλημα πριν από τέσσερα χρόνια, προσπαθούσε ακούραστα να το λύσει από τότε. Αρχικά σημείωσε σημαντική πρόοδο σε ένα paper που ανάρτησε το 2021, αλλά αργότερα συνειδητοποίησε ότι είχε κάνει ένα σημαντικό λάθος στην προσέγγιση βελτιστοποίησης που ακολουθούσε. Εν τέλει, ο πειραματισμός του Schwartz με μια δύο διαστάσεων εκδοχή της λωρίδας τον οδήγησε σε μια παρατήρηση που ήταν και το κλειδί για τη λύση. Τελικά, αντίθετα με την προηγούμενη πεποίθησή του ότι το σχήμα έμοιαζε με παραλληλόγραμμο, στην πραγματικότητα ήταν τραπεζοειδές!

Μιλώντας σχετικά, ο Schwartz εξομολογήθηκε:

"Ντροπιαστικά, ανακάλυψα πρόσφατα ότι έκανα ένα λάθος κατά τη δημιουργία του προβλήματος βελτιστοποίησης".

Μετά από αρκετά ξενύχτια λοιπόν, ο Schwartz έλυσε το πρόβλημα που βασάνιζε την κοινότητα εδώ και σχεδόν 50 χρόνια, αποδεικνύοντας την αναλογία που είχαν προτείνει οι Halpern και Weaver.

Για την ιστορία, η λωρίδα Möbius περιγράφηκε το 1858 από τους Γερμανούς μαθηματικούς August Möbius και Johann Listing και είναι γνωστή για τη μοναδική, μη-προσανατολισμένη φύση της. Για παράδειγμα, ένα μυρμήγκι που ταξιδεύει πάνω στη λωρίδα Möbius θα διέσχιζε και τις δύο πλευρές της με μια συνεχή κίνηση, χωρίς να διακρίνει μεταξύ των πλευρών. Αυτή η ξεχωριστή ιδιότητα μεταφράστηκε σε πολλές πρακτικές εφαρμογές από τις ταινίες στα μαγνητόφωνα μέχρι τους μεταφορικούς ιμάντες. Μάλιστα, η λωρίδα εμφανίζεται στο διεθνές σύμβολο της ανακύκλωσης, αλλά μέχρι και στο λογότυπο του Google Drive, συμβολίζοντας τις περισσότερες φορές το χαρακτηριστικό της «λούπας».